Infinito

  La idea del infinito es apasionante por donde se la mire. Es un concepto que supera ampliamente al conocimiento humano. Aún así hemos sido lo suficientemente audaces como para sacar conclusiones sobre este concepto.
  Como toda idea uno de los problemas más complicados es definirla. ¿Qué es el infinito? ¿Qué cosa puede ser considerada infinita? Vamos al área donde esta idea puede ser abordada de forma más fácil (y más familiar para mí): la matemática. La teoría de conjuntos nos acerca una definición que a mí me gusta mucho. Me gusta por dos motivos. El primero, que atenta contra el sentido común. El segundo, que es increíblemente precisa (o al menos lo parece).
  La definición dice lo siguiente: un conjunto A es infinito si se puede encontrar un subconjunto B (es decir un conjunto dentro del conjunto A) y se es capaz de encontrar una relación biyectiva entre ambos. Una relación biyectiva es una relación que une un elemento de un conjunto con exactamente un elemento de un segundo conjunto y viceversa. Es decir, ni en el conjunto origen ni en el conjunto destino deben quedar elementos sin unir, y lo que es mejor: ninguno puede estar unido dos veces al otro conjunto. Un dibujo de una relación biyectiva sería algo así:

  Como pueden ver en esta relación, todos los elementos del conjunto de la izquierda están relacionados con un elemento del conjunto de la derecha, y viceversa. No es difícil darse cuenta que para que esto pase el conjunto de la izquierda debe tener exactamente la misma cantidad de elementos que el conjunto de la derecha.
  Ahora, volviendo a la definición de infinito van a notar que pide que B sea un subconjunto de A (es decir que esté completamente incluído en A) y que exista una relación biyectiva entre ellos. Ahora, si B está dentro de A, B debería tener menos elementos, y si B tiene menos elementos es imposible encontrar una relación biyectiva entre ambos. Esta lógica es cierta si los conjuntos son finitos, pero lo que es perfectamente lógico para conjuntos finitos, no lo es para conjuntos infinitos.
  Veamos un ejemplo. Supongamos que el conjunto A está formado por todos los números naturales. Es decir:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
  Ahora, tomemos un subconjunto de A, por ejemplo los números naturales múltiplos de 3.
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18,...}
  Como podemos apreciar B cumple con la primer premisa ya que está completamente incluido en el conjunto A. Dado que a A lo conforman absolutamente todos los números naturales, y B tiene "solamente" a los que son múltiplos de 3.
  La pregunta que nos podemos hacer para verificar que A es infinito sería: ¿qué relación biyectiva podemos encontrar entre A y su subconjunto B? Bien, tomemos: "el elemento de B es el elemento de A multiplicado por 3". O dicho al revés: "el elemento de A es el elemento de B dividido 3". Si analizamos esta relación vamos a ver que todos los elementos de A están relacionados con uno y solamente un elemento de B. Y viceversa. Dicho de otra manera: si tomamos cualquier elemento de A, y aplicamos la relación, vamos a llegar inevitablemente a un único elemento de B. Por ejemplo, si tomamos el elemento de A: 20, vamos a ver que está relacionado con el elemento de B: 60 (20 x 3 = 60). Lo mismo pasa al revés, si tomamos el elemento de B: 24, vamos a ver que está relacionado con el elemento de A: 8 (8 x 3 = 24). Y esto pasa sin importar qué número tomemos de A o B. Encontramos entonces una relación biyectiva que une a ambos conjuntos. Así que ya podemos afirmar que el conjunto A formado por todos los números naturales es infinito.
  Y algo que desafía aún más a la razón, no solamente A es infinito, B también lo es. ¿Por qué? Porque al estar relacionados por una función biyectiva me estoy asegurando que B tiene la misma cantidad de elementos que A. Exactamente la misma cantidad. Así que si A es infinito, B también lo es. Ahora, ¿no les genera ruido pensar que el conjunto de múltiplos de 3 tiene exactamente la misma cantidad que el conjunto de los números naturales? Y no solo tiene la misma cantidad sino que además está completamente incluido en el conjunto de los números naturales. Bien, desde mi punto de vista muy personal ese ruido es generado por lo inasible que nos resulta el concepto de infinito.
  Cualquiera de nosotros puede pensar esto lógicamente y darse cuenta que es cierto. Sin embargo, nuestro sentido común se verá afectado por la idea de algo que entra adentro de otra cosa aunque es del mismo tamaño.